Пусть зависимоcть y от x задана в дискретной форме: { x 1 , y 1 ; x 2 , y 2 ; … x n , y n }. По этим данным можно построить такую аппроксимирующую функцию, график которой будет располагаться между узлами интерполяции близко к ним, но не обязательно точно проходить через все узлы. Такая зависимость носит сглаживающий характер и строится, например, для того, чтобы описать экспериментальные данные с помощью функции заданного вида. Необходимо определить лишь параметры этой функции. Для решения такой задачи используется метод наименьших квадратов - МНК . Его суть заключается в минимизации полной квадратичной невязки между построенной функцией и значениями y i в узловых точках:

где F (x ) – искомая аппроксимирующая функция.

Часто в качестве приближения, строящегося по МНК, берутся полиномы степени l ,
, гдеl < n -1 . В простейшем случае строится полином первой степени, т.е. линейная функция: F (x ) = ax + b . Коэффициенты a и b находятся с помощью метода наименьших квадратов по следующим формулам:

,
.

Для нахождения коэффициентов, можно использовать стандартные функции системы MathCAD и Excel.

В MathCAD имеется функция line(vx, vy) , которая возвращает линейные коэффициенты по значениям векторных аргументов vx и v y .

В Excel имеется функция ЛИНЕЙН, у которой также имеются два аргумента, состоящих из диапазонов ячеек. На первом месте диапазон ячеек соответствующий ординате. После ввода этой функции (например, «=ЛИНЕЙН(F10:F12;E1:E3)») выводится только один линейный коэффициент. Для вывода обоих коэффициентов необходимо выделить две ячейки (включая первую слева) потом нажать «F2», а затем комбинацию клавиш «crtl», «shift», «enter».

Лабораторная работа №8

Используя исходные данные из предыдущей работы, построить линейную функцию по методу наименьших квадратов. Вычислить полную квадратичную невязку полученной функции. Вычислить значение функции при заданном значении аргумента.

Физическая задача №3

Полагаем, что измерение интенсивности радиоактивного распада было выполнено для (К+1) моментов времени с заданным интервалом времени
. Эти измерения дали таблицу, состоящую из К+1 (К=3-5) значений количества распадов
для моментов времени
.

Используя метод наименьших квадратов, определить константу распада, период полураспада и значение суммы квадратов невязок.

Знание закона радиоактивного распада

подсказывает вычислить значения
и использовать метод наименьших квадратов для величин
, отыскивая параметры линейной зависимости. Тангенс угла наклона линейной зависимости определяет константу радиоактивного распада.

В отчете должен быть представлен график прямой
вместе с экспериментальными точками. Заметим, что закон радиоактивного распада является вероятностным и выполняется сравнительно точно для больших значений. Периоды полураспада радиоактивных изотопов изменяются в очень широких пределах. Например, период полураспада изотопа азота равен 10 минутам, а период полураспада изотопа хлора 300 000 лет . В заданиях период полураспада равен часам (и ответ следует выдавать в часах).

Из определения периода полураспада
следует его связь с постоянной распада:

. (2)

Параметры задачи преподаватель выдает студенту по аналитическим формулам

, .

В этих формулах - номер студента в группе, а- номер измерения (, время в этой формуле измеряется в часах. Между номером студента и периодом полураспада имеется линейная зависимость.

В отчете показать вывод уравнений, позволяющих решить задачу, график с прямой в логарифмическом масштабе для
и экспериментальными точками, выписать значения постоянной распада и времени полураспада в часах.

Линейная аппроксимация - (Linear approximation) – см. Аппроксимация, Линейность в экономике …

линейная аппроксимация - линейное приближение Аппроксимацией называется приближенное выражение каких либо величин или объектов через другие более простые величины или объекты. При линейной аппроксимации приближение строится с помощью линейных функций. ] Тематики защита информации EN linear approximation of block ciphers … Справочник технического переводчика

кусочно-линейная аппроксимация функции - — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN piecewise linear approximation … Справочник технического переводчика

Аппроксимация - «замена одних математических объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным» ; в частности приближенное выражение сложной функции с помощью более простых. Например, при кусочно линейной А., непрерывная… … Экономико-математический словарь

аппроксимация - «Замена одних математических объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным» . В частности — приближенное выражение сложной функции с помощью более простых. Например, при кусочно линейной А., непрерывная… … Справочник технического переводчика

Группа линейных преобразований векторного пространства Vконечной размерности n над нек рым телом К. Выбор базиса в пространстве Vреализует Л. г. как группу невырожденных квадратных матриц степени пнад телом К. Тем самым устанавливается изоморфизм … Математическая энциклопедия

Численные методы решения методы, позволяющие получить решение Л. к. з. в виде таблицы его приближенных значений в точках сетки, не используя предварительной информации об ожидаемом виде решения. Для теории этих методов типично предположение о том … Математическая энциклопедия

Метод решения класса задач статистич. оценивания, в к ром новое значение оценки представляет собой поправку к уже имеющейся оценке, основанную на новом наблюдении. Первая процедура С. а. была предложена в 1951 X. Роббинсом(Н. Robbins) и С. Монро… … Математическая энциклопедия

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

(ФГБОУ ВПО «ВГТУ», ВГТУ)

Факультет радиотехники и электроники

Кафедра высшей математики и физико-математического моделирования

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине: Математика

Тема: «Методы аппроксимации функций»

Разработал студент группы КП-121

И.С. Кононученко

Руководитель Кострюков С.А

ЗАДАНИЕ на курсовую работу

Тема: «Методы аппроксимации функций».

Студент группы КП-121 Кононученко Илья Сергеевич

1. Методы аппроксимации функций.

1.1. Непрерывная аппроксимация.

2. Точечная аппроксимация.

3. Интерполяционный полином Лагранжа.

4. Интерполяционный полином Ньютона.

5. Погрешность глобальной интерполяции.

6. Метод наименьших квадратов.

7. Подбор эмпирических формул.

8. Кусочно-постоянная интерполяция

9. Кусочно-линейная интерполяция.

2. Практическая часть.

2.1. Построить интерполяционный многочлен для функции f(x)=lnx- по узлам х=2; 4; 6; 8; 10; 12. Вычислить приближенное значение логарифма от 5,75. Получить оценку погрешности остаточного члена.

2.2. Функцию f(x), заданную таблицей, аппроксимировать линейной зависимостью ??(х)=Ах2+Вх+С. Найти х, для которого f(x)=10.

1. Методы аппроксимации функций

1.1 Непрерывная аппроксимация

1.2 Точечная аппроксимация

4 Интерполяционный полином Ньютона

8 Кусочно-постоянная интерполяция

9 Кусочно-линейная интерполяция

Практическая часть

2.1 Построить интерполяционный многочлен для функции f(x)=lnx-по узлам х=2; 4; 6; 8; 10; 12. Вычислить приближенное значение логарифма от 5,75. Получить оценку погрешности остаточного члена

2.2 Функцию f(x), заданную таблицей, аппроксимировать линейной зависимостью ?(х)=Ах+В, квадратичной зависимостью ?(х)=Ах2+Вх+С. Найти х, для которого f(x)=10

Список литературы

1.МЕТОДЫ АППРОКСИМАЦИИ ФУНКЦИЙ

1.1Непрерывная аппроксимация

Если исходная функция f(x) задана аналитическим выражением, то при построении аппроксимирующей функции возможно требовать минимальности отклонения одной функции от другой на некотором непрерывном множестве точек, например, на отрезке. Такой вид аппроксимации называется непрерывным или интегральным.

Теоретически для наилучшего приближения целесообразно требовать, чтобы во всех точках некоторого отрезка отклонения аппроксимирующей функции от функции f(x) было по абсолютной величине меньше заданной величины:

В этом случае говорят, что функция равномерно приближает функцию f(x) с точностью e на интервале. Практическое получение равномерного приближения представляет большие трудности, и поэтому этот способ применяется главным образом в теоретических исследованиях.

Наиболее употребительным является так называемое среднеквадратичное приближение, для которого наименьшее значение имеет величина

Потребовав обращения в нуль частных производных от М по параметрам, определяющим функцию, получают уравнения, позволяющие найти наилучшие значения этих параметров.

2 Точечная аппроксимация

Аппроксимация, при которой приближение строится на заданном дискретном множестве точек, называется точечной.

Для получения точечного среднеквадратичного приближения функции y=f(x), заданной таблично, аппроксимирующую функцию строят из условия минимума величины

где yi - значения функции f(x) в точках xi.

Основная сфера применения среднеквадратичного приближения - обработка экспериментальных данных (построение эмпирических формул).

Другим видом точечной аппроксимации является интерполирование, при котором аппроксимирующая функция принимает в заданных точках xi, те же значения yi , что и функция f(x), т.е. .

Рисунок 1

В этом случае, близость интерполирующей функции к заданной функции состоит в том, что их значения совпадают на заданной системе точек.

На рис. 1 показаны качественные графики интерполяционной функции (сплошная линия) и результаты среднеквадратичного приближения (пунктирная линия). Точками отмечены табличные значения функции f(x).

3 Интерполяционный полином Лагранжа

Лагранж предложил строить интерполяционный полином в виде разложения

где li(x) - базисные функции.

Для того, чтобы полином удовлетворял условиям Лагранжа, т.е. был бы интерполяционным, базисные функции li(x) должны обладать следующими свойствами:

) быть полином степени n

) удовлетворять условию

Лагранж показал, что функции, обладающие указанными свойствами, должны иметь следующий вид

С учетом этого выражения интерполяционный полином Лагранжа может быть записан в виде

В отличие от интерполяционного полинома в канонической форме для вычисления значений полинома Лагранжа не требуется предварительно определять коэффициенты полинома путем решения системы уравнений. Однако для каждого значения аргумента x полином Лагранжа приходится пересчитывать вновь, коэффициенты же канонического полинома вычисляются только один раз. Поэтому практическое применение полинома Лагранжа оправдано только в том случае, когда интерполяционная функция вычисляется в сравнительно небольшом количестве точек x.

Интерполяционный полином Лагранжа оказывается очень удобным для приближенного вычисления определенных интегралов. Если, например, некоторую функцию заменить интерполяционным полином Лагранжа, то определенный интеграл от нее может быть вычислен следующим образом

Значения интегралов от не зависят от f(x) и могут быть легко вычислены аналитически.

1.4 Интерполяционный полином Ньютона

Рассмотрим еще одну форму записи интерполяционного полинома

Требования совпадения значений полинома с заданными значения функции в узловых точках Ni(xi)=yi, i=0,1,…,n приводит к системе линейных уравнений с треугольной матрицей для неизвестных коэффициентов:

решить которую не составляет труда.

Интерполяционный полином называется полиномом Ньютона. Интересная особенность полинома Ньютона состоит в том, что каждая частичная сумма его первых (m+1) слагаемых представляет собой интерполяционный полином степени m, построенный по первым (m+1) табличным данным.

5 Погрешность глобальной интерполяции

Ошибка приближения функции f(x) интерполяционным полиномом n-й степени Ln(x) в точке x определяется разностью

Можно показать, что погрешность Rn(x) определяется следующим выражением

Здесь - производная (n+1) порядка функции f(x) в некоторой точке, а функция определена как

Если максимальное значение производной f (n+1)(x) равно

то для погрешности интерполяции следует оценка

Конкретная величина погрешности в точке x зависит, очевидно, от значения функции в этой точке. Качественный характер зависимости показан на рис. 2.

Рисунок 2

Вследствие описанного поведения погрешности, глобальная интерполяция в некоторых случаях может давать совершенно неудовлетворительный результат. Из рисунка видно, что погрешность интерполяции тем выше, чем ближе точка x лежит к концам отрезка. За пределами отрезка интерполяции (т.е. при экстраполяции) быстро растет, поэтому погрешность возрастает существенно.

1.6 Метод наименьших квадратов

Пусть для исходных данных xi, fi, i=1,…,N (нумерацию лучше начинать с единицы), выбран вид эмпирической зависимости: y=?(a0,a1,…,am) с неизвестными коэффициентами a0,a1,…,am . Запишем сумму квадратов отклонений между вычисленными по эмпирической формуле и заданными опытными данными:

S(a0,a1,…,am)=(?(x1,a0,a1,…,am)-fi)2

Параметры a0,a1,…,am будем находить из условия минимума функции S(a0,a1,…,am). В этом состоит метод наименьших квадратов (МНК).

Известно, что в точке минимума все частные производные от S по равны нулю:

Рассмотрим применение МНК для частного случая, широко используемого на практике. В качестве эмпирической функции рассмотрим полином

?(x)=a0+a1x+a2x2+…+amxm

Формула (1) для определения суммы квадратов отклонений примет вид:

S(a0,a1,…,am)=(a0+a1x+a2x2+…+amxm-fi)2 (2)

Вычислим производные

Приравнивая эти выражения к нулю и собирая коэффициенты при неизвестных a0,a1,…,am , получим следующую систему линейных уравнений

Данная система уравнений называется нормальной. Решая эту систему линейных уравнений, получаем коэффициенты.

В случае полинома первого порядка m=1, т.е. , система нормальных уравнений примет вид

При m=2 имеем:

Как правило, выбирают несколько эмпирических зависимостей. По МНК находят коэффициенты этих зависимостей и среди них находят наилучшую по минимальной сумме отклонений.

1.7 Подбор эмпирических формул

При интерполировании функций мы использовали условие равенства значений интерполяционного полинома и данной функции в узлах интерполяции. Если же исходные данные получены в результате опытных измерений, то требование точного совпадения не нужно, так как данные не получены точно. В этих случаях можно требовать лишь приближенного выполнения условий интерполяции. Это условие означает, что интерполирующая функция F(x) проходит не точно через заданные точки, а в некоторой их окрестности, так, например, как это показано на рис.

аппроксимация полином интерполяция формула

Рисунок 3

Тогда говорят о подборе эмпирических формул. Построение эмпирической формулы состоит из двух этапов подбора вида этой формулы, содержащей неизвестные параметры a0,a1,…,am, и определение наилучших в некотором смысле этих параметров. Вид формулы иногда известен из физических соображений (для упругой среды связь между напряжением и деформацией) или выбираются из геометрических соображений: экспериментальные точки наносятся на график и примерно угадывается общий вид зависимости путем сравнения полученной кривой с графиками известных функций. Успех здесь в значительной степени определяется опытом и интуицией исследователя.

Для практики важен случай аппроксимации функции многочленами, т.е. F(x)=a0+a1x+a2x2+…+amxm .

После того, как выбран вид эмпирической зависимости степень близости к эмпирическим данным определяется, используя минимум суммы квадратов отклонений вычисленных и экспериментальных данных.

1.8 Кусочно-постоянная интерполяция

На каждом отрезке интерполяционный многочлен равен константе, а именно левому или правому значению функции.

Для левой кусочно-линейной интерполяции

F(x)= fi-1, если xi-1 ?x

Для правой кусочно-линейной интерполяции F(x)= fi-1, если xi-1

Легко понять, что условия интерполяция выполняются. Построенная функция является разрывной, что ограничивает ее применение. Для левой кусочно-линейной интерполяции имеем графическое представление

Рисунок 4

1.9 Кусочно-линейная интерполяция

На каждом интервале функция является линейной Fi(x)=kix+li. Значения коэффициентов находятся из выполнения условий интерполяции в концах отрезка: Fi(xi-1)=fi-1, Fi(xi-1)=fi . Получаем систему уравнений: kixi-1+ li= fi-1, kixi+ li= fi , откуда находим ki=li= fi- kixi .

Следовательно, функцию F(x) можно записать в виде:

F(x)= x+ fi- kixi , если, т.е.

Или F(x)=ki ·(x-xi-1)+fi-1, ki = (fi - fi-1) / (xi - xi-1), xi-1 ? x ? xi, i=1,2,...,N-1

При использовании линейной интерполяции сначала нужно определить интервал, в который попадает значение x, а затем подставить его в формулу.

Итоговая функция будет непрерывной, но производная будет разрывной в каждом узле интерполяции. Погрешность такой интерполяции будет меньше, чем в случае кусочно-постоянной интерполяции. Иллюстрация кусочно-линейной интерполяции приведена на рисунке

Рисунок 5

2. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

2.1 Построим интерполяционный многочлен для функции

f(x)=lnx- по узлам х=2; 4; 6; 8; 10; 12.

Формула для вычисления данного многочлена выглядит следующим образом:

где n- количество узлов.

Рассчитаем значения базисных полиномов.

Формула для расчета базисных полиномов:

Запишем значения узлов функции:

Вычислим значения функций f(x) в соответствующих узлах:

f(x0)==0.6931471805599453-1.5=-0.8068528194400547(x1)= =1.386294361119891-1.25=0.136294361119891(x2)= =1.791759469228055-1.1666666666666667=0.625092802561388(x3)= =2,079441541679835-1.125=0.954441541679835(x4)= =2.302585092994045-1.1=1.202585092994045(x5)= =2.484906649788-1.083333333333333=1.401573316454667

Рассчитаем значения соответствующих базисных полиномов:

Запишем формулу вычисления многочлена f(x)=lnx- по полученным данным:

L(x)=f(x0)·l0(x)+ f(x1)·l1(x)+ f(x2)·l2(x)+ f(x3)·l3(x)+ f(x4)·l4(x)+ f(x5)·l5(x).

Подставим в формулу полученные значения:

L(x)=((- 0.8068528194400547) ·(x-4)(x-6)(x-8)(x-10)(x-12)+ +0.136294361119891·5(x-2)(x-6)(x-8)(x-10)(x-12)- 0.625092802561388·10·

· (x-2)(x-4)(x-8)(x-10)(x-12)+ 0.954441541679835·10(x-2)(x-4)(x-6)(x-10)(x-12)-1.202585092994045·5(x-2)(x-4)(x-6)(x-8)(x-12)+ 1.401573316454667·

·(x-2)(x-4)(x-6)(x-8)(x-10)=0,000443792912875·x5-0.001895922201567·x4+

032520620421826·x3-0.289410042490318·x2+1.50294940468648·x-2.886362165898854

Рисунок 6

L(x)= 0.000443792912875·x5-0.001895922201567·x4+

032520620421826·x3-0.289410042490318·x2+

50294940468648·x-2.886362165898854

Из рисунка видно, что графики функций совпадают.

Вычислим приближенное значение логарифма от 5,75 с точностью до 0,001.

Воспользуемся разложением

Пользуясь формулой

посчитаем приближенное значение логарифма:

Получим оценку погрешности остаточного члена:

Формула нахождения остаточного члена в других точках:

Rn(x)=f(x)-Ln(x).

Подставим значения и вычислим остаточный член:

Rn(x)= -0.234721044665224-(-0.149875603361276)= 0.0122

Для абсолютной погрешности интерполяционной формулы Лагранжа можно получить следующую оценку:

0122374?9.9512361

Из оценки следует, что выбирая достаточно большое число точек разбиения можно получить результат с необходимой точностью.

Функцию f(x), заданную таблицей аппроксимируем линейной зависимостью ?(х)=Ах+В, квадратичной зависимостью ?(х)=Ах2+Вх+С.

x10151720f(x)371117Решение:

Для решения этой задачи воспользуемся методом наименьших квадратов.

Система нормальных уравнений для линейной зависимости (x)=Ax+B:

Учитывая, что n=4: ;

Решаем систему линейных уравнений:

Следовательно, линейная зависимость будет иметь вид:

Рассмотрим квадратичную зависимость?(х)=Ах2+Вх+С. Система нормальных уравнений имеет вид:

Найдем не подсчитанные суммы:

Следовательно, квадратичная зависимость будет иметь вид:

Рисунок 7

Функция, заданная таблицей.

Линейная зависимость

Квадратичная зависимость

По графику найдем значение х, для которого f(x)=10.

Список литературы

1. Кириллова С.Ю. Вычислительная математика/Кириллова С.Ю. Изд-во Владим. гос. ун-та, 2009. -102с.

2. Справочное пособие по приближенным методам решения задач высшей математики/ Л.И. Бородич, А.И. Герасимович, Н.П. Кеда и др.; под ред. Л.И. Бородич.- М.: Высшая школа, 1986. -189с.

3. Тюканов, А.С. Основы численных методов: учеб. пособие для студентов. Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2007. -226с.

Репетиторство

Нужна помощь по изучению какой-либы темы?

Наши специалисты проконсультируют или окажут репетиторские услуги по интересующей вас тематике.
Отправь заявку с указанием темы прямо сейчас, чтобы узнать о возможности получения консультации.

Рассмотрим гильбертово пространство действительных функций, интегрируемых с квадратом с весом на . Норма в нем равна где скалярное произведение определено следующим образом:

Физический смысл весовой функции будет пояснен в п. 4. Выберем в качестве аппроксимирующей функции линейную комбинацию (37). Подставляя ее в условие наилучшего приближения (36), получим

Приравнивая нулю производные по коэффициентам, получим систему линейных уравнений

Ее определитель есть определитель Грама функций поскольку функции линейно-независимы, он отличен от нуля. Следовательно, наилучшее среднеквадратичное приближение существует и единственно. Для его вычисления необходимо решить систему линейных уравнений (38).

Линейно-независимую систему функций можно ортогонализировать.

Пусть уже образуют ортонормированную систему, т. е. ; тогда формулы (38) резко упрощаются и становятся удобными для вычислений

Это коэффициенты Фурье, так что наилучшее приближение есть отрезок обобщенного ряда Фурье.

Если функции образуют полную ортонормированную систему, то в силу равенства Парсеваля

Значит, при норма погрешности неограниченно убывает, т. е. наилучшее приближение среднеквадратично сходится к у и возможна аппроксимация с любой точностью.

Отметим, что если не ортогональны, то при определитель Грама обычно быстро стремится к нулю, система (38) становится плохо обусловленной, т. е. ее решение связано с большой потерей точности (см. главу V), и больше 5 - 6 членов суммы (37) брать нецелесообразно. Численная ортогонализация базиса при этом тоже приводит к большой потере точности. Поэтому если нужно большое число членов, то надо или проводить ортогонализацию точно (аналитически), или пользоваться готовыми системами ортогональных функций.

При интерполяции мы обычно полагали Для среднеквадратичной аппроксимации удобнее в качестве брать многочлены, ортогональные с заданным весом. Наиболее употребительны из них многочлены Якоби (частным случаем которых являются многочлены Лежандра и Чебышева), Лагерра и Эрмита. Для аппроксимации периодических функций используют тригонометрический ряд; он соответствует Сводка формул для ортогональных полиномов приведена в Приложении.

Все перечисленные выше системы функций полные, так что наилучшие приближения по ним среднеквадратично сходятся при если интегрируема с квадратом с заданным весом. При более сильных ограничениях имеет место сходимость во всех точках и даже равномерная сходимость. Приведем без доказательства некоторые результаты.

а) Ряд по многочленам Якоби сходится к непрерывной функции у равномерно на если существует непрерывная при некотором и если . В частности, для многочленов Чебышева первого рода достаточно а для многочленов Чебышева второго рода Для многочленов Лежандра доказан более сильный результат: ряд сходится равномерно, если существует ограниченная у

б) Если функция кусочно-непрерывная и кусочно-гладкая на и существует

то ряд по многочленам Лагерра сходится к функции в точках ее непрерывности и к полусумме односторонних пределов в точках разрыва. Эта сходимость, вообще говоря, не равномерная.

в) Если функция у кусочно-непрерывная и кусочно-гладкая на и существует

то ряд по многочленам Эрмита сходится так же, как в предыдущем абзаце.

г) Если у периодическая и непрерывная, причем ее модуль непрерывности удовлетворяет условию то ее тригонометрический ряд Фурье равномерно сходится к ней на всем периоде (признак Липшица); в частности, это условие выполняется для функции с ограниченной производной. Если функция имеет ограниченную производную а все младшие производные непрерывны, то для погрешности тригонометрического ряда Фурье и величин отдельных коэффициентов справедливы оценки

где А - константа. Видно, что при больших ряд сходится быстро. Но если кусочно-непрерывна, то сколько бы ни было у нее кусочно-непрерывных и ограниченных производных, ее коэффициенты Фурье убывают не быстрей и ряд сходится медленно (или даже расходится).

Замечание 1. Сходимость не во всех рассмотренных случаях была равномерной. Более того, не существует такого веса чтобы любая непрерывная функция разлагалась в равномерно сходящийся ряд по полиномам, ортогональным с этим весом. Буа-Реймондом и Л. Фейером были построены примеры периодических непрерывных функций, у которых тригонометрический ряд Фурье в отдельных точках расходится.

Замечание 2. Сходимость среднеквадратичного приближения тем лучше, чем меньше у функции особенностей - разрывов ее самой или ее производных. Если можно выделить основные особенности в виде несложной функции и аппроксимировать разность у точность аппроксимации существенно улучшается.

Введение

Основным инструментом для решения сложных математических задач в настоящее время являются численные методы, позволяющие свести решение задачи к выполнению конечного числа арифметических действий над числами; при этом результаты получаются в виде числовых значений. Численные методы позволяют получить лишь решение задачи с конкретными значениями параметров и исходных данных.

Многие численные методы разработаны давно, однако при вычислениях вручную они могли использоваться лишь для решения не слишком трудоемких задач. С появлением компьютеров начался период бурного развития численных методов и их внедрения в практику. Только вычислительной машине под силу выполнить за короткое время объем вычислений в миллиарды, триллионы и более операций, необходимых для решения многих современных задач.

Численный метод наряду с возможностью получения результата за приемлемое время должен обладать и ещё одним важным качеством - не вносить в вычислительный процесс значительных погрешностей.

Аппроксимация

При эмпирическом (экспериментальном) изучении функциональной зависимости одной величины от другой производят ряд измерений функции у от каждого конкретного значения аргумента х. Результаты измерений могут быть представлены графически либо в виде таблицы.

Задача заключается в аналитическом представлении функциональной зависимости y от x, описывающей результат этих экспериментов. Особенность задачи - погрешность, ошибки. В ходе эксперимента измеренные значения у i содержат случайные ошибки и ошибки измерений. Задача сводится к тому, что бы получить такую функциональную зависимость, которая складывала все ошибки - сглаживала.

Аппроксимирующую функцию y(x) выбирают из ряда стандартных и простых. Обозначим функциональную зависимость f (x i ; a 1 ; …a n). (1)

Здесь параметры a и n невозможно определить точно, они содержат в себе ошибки. Чтобы получить несмещённые и состоятельные оценки параметров a 1 ; …a n - можно воспользоваться методом наименьших квадратов.

Метод наименьших квадратов позволяет получить несмещенные несостоятельные оценки параметра a 1 ; …a n . При этом предполагается, что измерения смещения функции произведены независимо друг от друга и ошибки подчиняются закону нормального распределения вероятности.

Суть метода. Если все измерения уi ... yn произведены с одинаковой точностью, то оценки параметров a 1 ; …a n определяются из условия, чтобы сумма квадратов отклонения у i была наименьшей.

у i = у i - f (x i ; a 1 ; …a n)

S=(у i - f (x i ; a 1 ; …a n)) 2

Если параметры a 1 ; …a n входят в аппроксимирующую функцию (1) линейно, то система уравнений будет тоже линейной; в тех случаях, когда они не линейны, необходимо преобразовать функциональную зависимость.

Аппроксимация линейной функции

Задача сводится к следующему. Получен ряд значений функции y 1 , y 2 , …,y n при соответствующих значениях аргумента x 1 , x 2 , …,x n . Необходимо найти значения a и b выражения y=ax+b.

S=? (yi-f (a*xi+b)) ^2

dS/da=2*?(yi-a*xi-b)*xi

dS/db=2*?(yi-a*xi-bi)

Раскроем знак суммы:

Yi*xi-a*?xi^2-b*?xi=0

Переобозначим суммы,

где значения A, B, C, D известны из таблицы.

Определив значения a и b, мы решим поставленную задачу определения параметров выражения y=ax+b.

y: -10.29, -6.64, -6.70, -4.31, -3.26, -2.20, -0.08, 1.50, 3.81, 3.62

График полученной функции:

Аппроксимация степенной функции

Задача: Задача сводится к следующему. Получен ряд значений функции y 1 , y 2 , …,y n при соответствующих значениях аргумента x 1 , x 2 , …,x n . Необходимо найти значения a и b выражения y=ax b . Для этого прологарифмируем это выражение:

ln y = b ln x + ln a

и произведем замены:

Тогда получим знакомое выражение для прямой линии:

Выражение минимизируемой функции для этого случая примет вид:

S=? (yi-f(a*xi+b))^2

Решаем систему методом Крамера и находим параметры a и b

Данные: х: 2,4,6,8,10,12,14,16,18,20

у: 0.41, 0.19, 0.10, 0.07, 0.05, 0.04, 0.03, 0.02, 0.02, 0.02

График полученной функции:

Аппроксимация параболической функции

Задача: Задача сводится к следующему. Получен ряд значений функции y 1 , y 2 , …,y n при соответствующих значениях аргумента x 1 , x 2 , …,x n . Необходимо найти значения a и b и с выражения y=ax 2 +bx+c.

Выражение минимизируемой функции для этого случая примет вид:

S=? (yi-f(a*xi^2+b*xi+c))^2

Отыскание a и b сводится к решению системы уравнений:

Дифференцируем, чтобы найти минимумы:

dS/da=?(yi-a*xi^2-b*xi+c)*xi^2=0

dS/db=?(yi-a*xi^2-b*xi+c)*xi=0

dS/dc=?(yi-a*xi^2-b*xi+c)=0

Раскроем знак суммы:

Yi*xi^2-a*?xi^4-b*?xi^3-c*?xi^2=0

Yi-a*?xi^2-b*?xi*yi-c*N=0

Переобозначим суммы:

G - aE - bD - cC = 0

F - aD - bC - cA = 0

B - aC - bA - cN = 0

где A, B, C, D, E, F, G известны из таблицы.

Решаем систему методом Крамера и находим параметры a и b

Определив значения a и b и c, мы решим поставленную задачу определения параметров выражения y=ax 2 +bx+c.

Данные: х: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10