Что показывает диаграмма эйлера венна. Основные операции над множествами. Диаграммы Эйлера-Венна. Принцип построения диаграмм
История
Определение 1
Леонарду Эйлеру задали вопрос: можно ли, прогуливаясь по Кенигсбергу, обойти через все мосты города, дважды не проходя ни через один из них. План города с семью мостами прилагался.
В письме знакомому итальянскому математику Эйлер дал краткое и красивое решение проблемы кенигсбергских мостов: при таком расположении задача неразрешима. При этом он указал, что вопрос показался ему интересным, т.к. «для его решения недостаточны ни геометрия, ни алгебра...» .
При решении многих задач Л. Эйлер изображал множества с помощью кругов, поэтому они и получили название «круги Эйлера» . Этим методом ещё ранее пользовался немецкий философ и математик Готфрид Лейбниц, который использовал их для геометрического объяснения логических связей между понятиями, но при этом чаще использовал линейные схемы. Эйлер же достаточно основательно развил метод. Особенно знаменитыми графические методы стали благодаря английскому логику и философу Джону Венну, который ввел диаграммы Венна и подобные схемы часто называют диаграммами Эйлера-Венна . Используются они во многих областях, например, в теории множеств, теории вероятности, логике, статистике и информатике.
Принцип построения диаграмм
До сих пор диаграммы Эйлера-Венна широко используют для схематичного изображения всех возможных пересечений нескольких множеств. На диаграммах изображают все $2^n$ комбинаций n свойств. Например, при $n=3$ на диаграмме изображают три круга с центрами в вершинах равностороннего треугольника и одинаковым радиусом, который приближенно равен длине стороны треугольника.
Логические операции задают таблицы истинности. На диаграмме изображается круг с названием множества, которое он представляет, например, $A$. Область в середине круга $A$ будет отображать истинность выражения $A$, а область вне круга -- ложь. Для отображения логической операции заштриховывают только те области, в которых значения логической операции при множествах $A$ и $B$ истинны.
Например, конъюнкция двух множеств $A$ и $B$ истинна только в том случае, когда оба множества истинны. В таком случае на диаграмме результатом конъюнкции $A$ и $B$ будет область в середине кругов, которая одновременно принадлежит множеству $A$ и множеству $B$ (пересечению множеств).
Рисунок 1. Конъюнкция множеств $A$ и $B$
Использование диаграмм Эйлера-Венна для доказательства логических равенств
Рассмотрим, как применяется метод построения диаграмм Эйлера-Венна для доказательства логических равенств.
Докажем закон де Моргана, который описывается равенством:
Доказательство:
Рисунок 4. Инверсия $A$
Рисунок 5. Инверсия $B$
Рисунок 6. Конъюнкция инверсий $A$ и $B$
После сравнения области для отображения левой и правой части видим, что они равны. Из этого следует справедливость логического равенства. Закон де Моргана доказан с помощью диаграмм Эйлера-Венна.
Решение задачи поиска информации в Интернет с помощью диаграмм Эйлера-Венна
Для осуществления поиска информации в Интернет удобно использовать поисковые запросы с логическими связками, аналогичными по смыслу союзам "и", "или" русского языка. Смысл логических связок становится более понятным, если проиллюстрировать их с помощью диаграмм Эйлера-Венна.
Пример 1
В таблице приведены примеры запросов к поисковому серверу. Каждый запрос имеет свой код -- буква от $A$ до $B$. Нужно расположить коды запросов в порядке убывания количества найденных страниц по каждому запросу.
Рисунок 7.
Решение:
Построим для каждого запроса диаграмму Эйлера-Венна:
Рисунок 8.
Ответ: БВА.
Решение логической содержательной задачи с помощью диаграмм Эйлера-Венна
Пример 2
За зимние каникулы из $36$ учеников класса $2$ не были ни в кино, ни в театре, ни в цирке. В кино сходило $25$ человек, в театр -- $11$, в цирк -- $17$ человек; и в кино, и в театре -- $6$; и в кино и в цирк -- $10$; и в театр и в цирк -- $4$.
Сколько человек побывало и в кино, и в театре, и в цирке?
Решение:
Обозначим количество ребят, побывавших и в кино, и в театре, и в цирке -- $x$.
Построим диаграмму и узнаем количество ребят в каждой области:
Рисунок 9.
Не были ни в театре, ни в кино, ни в цирке -- $2$ чел.
Значит, $36 - 2 = 34$ чел. побывали на мероприятиях.
В кино и театр сходило $6$ чел., значит, только в кино и театр ($6 - x)$ чел.
В кино и цирк сходило $10$ чел., значит, только в кино и цирк ($10 - x$) чел.
В театр и цирк сходило $4$ чел., значит, только в театре и цирк ($4 - x$) чел.
В кино сходило $25$ чел., значит, из них только в кино сходило $25 - (10 - x) - (6 - x) - x = (9+x)$.
Аналогично, только в театр сходило ($1+x$) чел.
Только в цирк сходило ($3+x$) чел.
Итак, сходили в театр, кино и цирк:
$(9+x)+(1+x)+(3+x)+(10-x)+(6-x)+(4-x)+x = 34$;
Т.е. только один человек сходил и в театр, и в кино, и в цирк.
ДИАГРАММА ВЕННА, схематическое представление отношений между математическими МНОЖЕСТВАМИ или логическими утверждениями, названное по имени английского логика Джона Венна (1834 1923). Множества изображаются в виде геометрических фигур, обычно… …
диаграмма Венна - Иллюстрирующая логические операции и операции булевой алгебры Boolean algebra Тематики нефтегазовая промышленность EN Venn diagram … Справочник технического переводчика
диаграмма Венна - Venn o diagrama statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. Venn diagram vok. Venn Diagramm, n rus. диаграмма Венна, f pranc. diagramme de Venn, m ryšiai: sinonimas – Veno diagrama … Automatikos terminų žodynas
ДИАГРАММА ЭЙЛЕРА, простая диаграмма, используемая в логике для демонстрации силлогизмов. Классы предметов изображаются в виде кругов, и утверждения типа «Некоторое а находится в b» представляется двумя пересекающимися кругами, представляющими а и … Научно-технический энциклопедический словарь
Графический способ изображения формул математич. логики, прежде всего формул исчисления высказываний. В. д. ппеременных классич. логики высказываний представляет собой такой набор замкнутых контуров (го меоморфных окружностям), к рый разбивает… … Математическая энциклопедия
Пример диаграммы Эйлера. B живое существо, A человек, C неживая вещь. Круги Эйлера геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления. Изобретены Эйлером. Используется в… … Википедия
Пример диаграммы Эйлера. B живое существо, A человек, C неживая вещь. Круги Эйлера геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления. Изобретены Эйлером. Используется в… … Википедия
ДИАГРАММЫ ВEHHА графический способ задания и анализа логико математических теорий и их формул. Строятся путем разбиения части плоскости на ячейки (подмножества) замкнутыми контурами (кривьми Жордана). В ячейках представляется информация,… … Философская энциклопедия
Пример кругов Эйлера. Буквами обозначены, например, свойства: живое существо, человек, неживая вещь Круги Эйлера геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения … Википедия
Диаграмма Эйлера-Венна - наглядное средство для работы со множествами. На этих диаграммах изображаются все возможные варианты пересечения множеств. Количество пересечений (областей) n определяется по формуле:
n=2 N ,
где N - количество множеств.
Таким образом, если в задаче используется два множества, то n=2 2 =4, если три множества, то n=2 3 =8, если четыре множества, то n=2 4 =16. Поэтому диаграммы Эйлера-Венна используются в основном для двух или трех множеств.
Множества изображаются в виде кругов (если используется 2-3 множества) и эллипсов (если используется 4 множества), помещенных в прямоугольник (универсум).
Универсальное множество (универсум) U (в контексте задачи) - множество, содержащее все элементы рассматриваемой задачи: элементы всех множеств задачи и элементы, не входящие в них.
Пустое множество Ø
(в контексте задачи) - множество, не содержащее ни одного элемента рассматриваемой задачи.
На диаграмме строят пересекающиеся множества, заключают их в универсум. Выделяют области, количество которых равно количеству пересечений.
Диаграммы Эйлера-Венна также используются для визуального представления логических операций.
Разберем примеры построения диаграмм Эйлера-Венна для двух и трех множеств.
Пример 1
Универсум U={0,1,2,3,4,5,6}
Диаграммы Эйлера-Венна для двух множеств А и В:
Пример 2
Пусть есть следующие множества чисел:
Универсум U={0,1,2,3,4,5,6,7}
Диаграммы Эйлера-Венна для трех множеств А, В, С:
Определим области, и числа которые им принадлежат:
| А |
B |
C |
Обозначение области | Числа |
|---|---|---|---|---|
| 0 |
0 |
0 |
0) | 0 |
| 0 |
0 |
1 |
1) | 7 |
| 0 |
1 |
0 |
2) | 5 |
| 0 |
1 |
1 |
3) | 6 |
| 1 |
0 |
0 |
4) | 2 |
| 1 |
0 |
1 |
5) | 1 |
| 1 |
1 |
0 |
6) | 4 |
| 1 |
1 |
1 |
7) | 3 |
Пример 3
Пусть есть следующие множества чисел:
А={0,1,2,3,4,5,6,7}
В={3,4,5,7,8,9,10,13}
С={0,2,3,7,8,10,11,12}
D={0,3,4,6,9,10,11,14}
Универсум U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15}
Диаграммы Эйлера-Венна для четырех множеств А, В, С, D:
Определим области, и числа которые им принадлежат:
| А |
B |
C |
D | Обозначение области | Числа |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 |
0 |
0 |
0 | 0) | 15 |
| 0 |
0 |
0 |
1 | 1) | 14 |
| 0 |
0 |
1 |
0 | 2) | 12 |
| 0 |
0 |
1 |
1 | 3) | 11 |
| 0 |
1 |
0 |
0 | 4) | 13 |
| 0 |
1 |
0 |
1 | 5) | 9 |
| 0 |
1 |
1 |
0 | 6) | 8 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 7) | 10 |
| 1 |
0 |
0 |
0 | 8) | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 9) | 6 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 10) | 2 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 11) | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 12) | 5 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 13) | 4 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 14) | 7 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 15) | 3 |
Если Вы хотите порешать типовые задач на множества, то перейдите к статье.
ДИАГРАММЫ ВЕННА - графический способ задания и анализа логико-математических теорий и их формул. Строятся путем разбиения части плоскости на ячейки (подмножества) замкнутыми контурами (кривыми Жордана). В ячейках представляется информация, характеризующая рассматриваемую теорию или формулу. Цель построения диаграмм не только иллюстративная, но и операторная - алгоритмическая переработка информации. Аппарат диаграмм Венна обычно используется вместе с аналитическим.
Способ разбиения, количество ячеек, а также проблемы записи в них информации зависят от рассматриваемой теории, которая тоже может вводиться (описываться) графически - некоторыми диаграммами Венна, задаваемыми первоначально, в частности, вместе с алгоритмами их преобразований, когда одни диаграммы могут выступать как операторы, действующие на другие диаграммы. Например, в случае классической логики высказываний для формул, составленных из п различных пропозициональных переменных, часть плоскости (универсум) делится на 2" ячеек, соответствующих конституэнтам (в конъюнктивной или в дизъюнктивной форме). Диаграммой Венна каждой формулы считается такая плоскость, в ячейках которой ставится (или не ставится) звездочка *. Так, формулу
(¬ а& ¬ b&c) V (а&¬ b&c) V (¬ a&b&¬ c)
с тремя пропозициональными переменными a, b и c определяет диаграмма, изображенная на рисунке, где звездочки в ячейках соответствуют конъюнктивным составляющим этой совершенной нормальной дизъюнктивной формулы. Если отмеченных звездочками ячеек нет, то диаграмме Венна сопоставляется, напр., тождественно ложная формула, скажем (a&¬ a).
Индуктивный способ разбиения плоскости на 2" ячеек восходит к трудам английского логика Дж. Венна, называется способом Венна и состоит в следующем:
1. При n = 1, 2, 3 очевидным образом используются окружности. (На приведенном рисунке n = 3.)
2. Предположим, что при n = k (k ≥ 3), указано такое рас-положение к фигур, что плоскость разделена на 2k ячеек.
Тогда для расположения k+1 фигуры на этой плоскости достаточно, во-первых, выбрать незамкнутую кривую (ср без точек самопересечения, т.е. незамкнутую кривую Жордана, принадлежащую границам всех 2k ячеек и имеющую с каждой из этих границ только один общий кусок. Во-вторых, обвести φ замкнутой кривой Жордана Ψ k+1 так, чтобы кривая Ψ k+1 проходила через все 2k ячейки и пересекала границу каждой ячейки только два раза. Таким образом получится расположение n= k+1 фигур такое, что плоскость разделится на 2k+1 ячеек.
Для представления других логико-математических теорий метод венновских диаграмм расширяется. Сама теория записывается так, чтобы выделить элементы ее языка в пригодной для графического изображения форме. Напр., атомарные формулы классической логики предикатов записываются как слова вида P(Y1..Yr), где P - предикатная, а Y1,..., Yr - предметные переменные, не обязательно различные; слово Y1,..., Yr - предметный инфикс. Очевидный теоретико-множественный характер диаграмм Венна позволяет представлять и исследовать с их помощью, в частности, теоретико-множественные исчисления, напр., исчисление ZF теории множеств Цермело-Френкеля. Графические методы в логике и математике развивались издавна. Таковы, в частности, логический квадрат, круги Эйлера и оригинальные диаграммы Л. Кэрролла. Однако метод диаграмм Венна существенно отличается от известного метода кругов Эйлера, используемого в традиционной силлогистике. В основе венновских диаграмм лежит идея разложения булевской функции на конституэнты - центральная в алгебре логики, обуславливающая их оперативный характер. Свои диаграммы Венн применял прежде всего для решения задач логики классов. Его диаграммы можно эффективно использовать и для решения задач логики высказываний и предикатов, обзора следствий из посылок, решения логических уравнений, а также других вопросов, вплоть до проблемы разрешимости. Аппарат диаграмм Венна находит применение в приложениях математической логики и теории автоматов, в частности при решении задач, связанных с нейронными цепями и проблемой синтеза надежных схем из относительно мало надежных элементов.
А. С. Кузичев
Новая философская энциклопедия. В четырех томах. / Ин-т философии РАН. Научно-ред. совет: В.С. Степин, А.А. Гусейнов, Г.Ю. Семигин. М., Мысль, 2010, т. I, А - Д, с. 645.
Литература:
Venn J. Symbolic logic. L., 1881. Ed. 2, rev. L., 1894;
Кузичев А. С. Диаграммы Венна. История и применения. М., 1968;
Он же. Решение некоторых задач математической логики с помощью диаграмм Венна. - В кн.: Исследование логических систем. М., 1970.
Диаграммы Эйлера-Венна – геометрические представления множеств. Построение диаграммы заключается в изображении большого прямоугольника, представляющего универсальное множество U, а внутри его – кругов (или каких-нибудь других замкнутых фигур), представляющих множества.
Фигуры должны пересекаться в наиболее общем случае, требуемом в задаче, и должны быть соответствующим образом обозначены. Точки, лежащие внутри различных областей диаграммы, могут рассматриваться как элементы соответствующих множеств. Имея построенную диаграмму, можно заштриховать определенные области для обозначения вновь образованных множеств.
Операции над множествами рассматриваются для получения новых множеств из уже существующих.
Определение. Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А, В (рис. 1):
Определение. Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат одновременно как множеству А, так и множеству В (рис. 2):
Определение. Разностью множеств А и В называется множество всех тех и только тех элементов А, которые не содержатся в В (рис. 3):
Определение. Симметрической разностью множеств А и В называется множество элементов этих множеств, которые принадлежат либо только множеству А, либо только множеству В (рис. 4):
Определение. Абсолютным дополнением множества А называется множество всех тех элементов, которые не принадлежат множеству А (рис. 5):
|
