Линейно независимых строк. Свойства линейно зависимых и линейно независимых столбцов матриц. §4.9. Ранг матрицы

Заметим, что строки и столбцы матрицы можно рассматривать как арифметические векторы размеров m и n , соответственно. Таким образом, матрицу размеров можно интерпретировать как совокупностьm n -мерных илиn m -мерных арифметических векторов. По аналогии с геометрическими векторами введем понятия линейной зависимости и линейной независимости строк и столбцов матрицы.

4.8.1. Определение. Строка
называетсялинейной комбинацией строк с коэффициентами
, если для всех элементов этой строки справедливо равенство:

,
.

4.8.2. Определение.

Строки
называютсялинейно зависимыми , если существует их нетривиальная линейная комбинация, равная нулевой строке, т.е. существуют такие не все равные нулю числа

,
.

4.8.3. Определение.

Строки
называютсялинейно независимыми , если только их тривиальная линейная комбинация равна нулевой строке, т.е.

,

4.8.4. Теорема. (Критерий линейной зависимости строк матрицы)

Для того, чтобы строки были линейно зависимыми, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы одна из них была линейной комбинацией остальных.

Доказательство:

Необходимость. Пусть строки
линейно зависимы, тогда существует их нетривиальная линейная комбинация, равная нулевой строке:

.

Без ограничения общности предположим, что первый из коэффициентов линейной комбинации отличен от нуля (в противном случае можно перенумеровать строки). Разделив это соотношение на , получим

,

то есть первая строка является линейной комбинацией остальных.

Достаточность. Пусть одна из строк, например, , является линейной комбинацией остальных, тогда

то есть существует нетривиальная линейная комбинация строк
, равная нулевой строке:

а значит, строки
линейно зависимы, что и требовалось доказать.

Замечание.

Аналогичные определения и утверждения могут быть сформулированы и для столбцов матрицы.

§4.9. Ранг матрицы.

4.9.1. Определение. Минором порядка матрицы размера
называется определитель порядка с элементами, расположенными на пересечении некоторых ее строк и столбцов.

4.9.2. Определение. Отличный от нуля минор порядка матрицы размера
называетсябазисным минором , если все миноры матрицы порядка
равны нулю.

Замечание. Матрица может иметь несколько базисных миноров. Очевидно, что все они будут одного порядка. Также возможен случай, когда у матрицы размера
минор порядка отличен от нуля, а миноров порядка
не существует, то есть
.

4.9.3. Определение. Строки (столбцы), образующие базисный минор, называются базисными строками (столбцами).

4.9.4. Определение. Рангом матрицы называется порядок ее базисного минора. Ранг матрицы обозначается
или
.

Замечание.

Отметим, что в силу равноправности строк и столбцов определителя ранг матрицы не меняется при ее транспонировании.

4.9.5. Теорема. (Инвариантность ранга матрицы относительно элементарных преобразований)

Ранг матрицы не меняется при ее элементарных преобразованиях.

Без доказательства.

4.9.6. Теорема. (О базисном миноре).

Базисные строки (столбцы) линейно независимы. Всякая строка (столбец) матрицы может быть представлена в виде линейной комбинации ее базисных строк (столбцов).

Доказательство:

Проведем доказательство для строк. Доказательство утверждения для столбцов может быть проведено по аналогии.

Пусть ранг матрицы размеров
равен, а
− базисный минор. Без ограничения на общность предположим, что базисный минор расположен в левом верхнем углу (в противном случае можно привести матрицу к этому виду с помощью элементарных преобразований):

.

Докажем сначала линейную независимость базисных строк. Доказательство проведем от противного. Предположим, что базисные строки линейно зависимы. Тогда согласно теореме 4.8.4 одна из строк может быть представлена в виде линейной комбинации остальных базисных строк. Следовательно, если вычесть из этой строки указанную линейную комбинацию, то мы получим нулевую строку, а это означает, что минор
равен нулю, что противоречит определению базисного минора. Таким образом, мы получили противоречие, следовательно, линейная независимость базисных строк доказана.

Докажем теперь, что всякая строка матрицы может быть представлена в виде линейной комбинации базисных строк. Если номер рассматриваемой строки от 1 доr , то тогда, очевидно, она может быть представлена в виде линейной комбинации c коэффициентом, равным 1 при строке и нулевыми коэффициентами при остальных строках. Покажем теперь, что если номер строкиот
до
, она может быть представлена в виде линейной комбинации базисных строк. Рассмотрим минор матрицы
, полученный из базисного минора
добавлением строкии произвольного столбца
:

Покажем, что данный минор
от
до
и для любого номера столбцаот 1 до.

Действительно, если номер столбца от 1 доr , то имеем определитель с двумя одинаковыми столбцами, который, очевидно, равен нулю. Если же номер столбца отr +1 до , а номер строкиот
до
, то
является минором исходной матрицы большего порядка, чем базисный минор, а это означает, что он равен нулю из определения базисного минора. Таким образом, доказано, что минор
равен нулю для любого номера строкиот
до
и для любого номера столбцаот 1 до. Разлагая его по последнему столбцу, получим:

Здесь
− соответствующие алгебраические дополнения. Заметим, что
, так как следовательно,
является базисным минором. Следовательно, элементы строкиk могут быть представлены в виде линейной комбинации соответствующих элементов базисных строк с коэффициентами, не зависящими от номера столбца :

Таким образом, мы доказали, что произвольная строка матрицы может быть представлена в виде линейной комбинации ее базисных строк. Теорема доказана.

Лекция 13

4.9.7. Теорема. (О ранге невырожденной квадратной матрицы)

Для того, чтобы квадратная матрица являлась невырожденной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы равен размеру этой матрицы.

Доказательство:

Необходимость. Пусть квадратная матрица размераn является невырожденной, тогда
, следовательно, определитель матрицы является базисным минором, т.е.

Достаточность. Пусть
тогда порядок базисного минора равен размеру матрицы, следовательно, базисным минором является определитель матрицы, т.е.
по определению базисного минора.

Следствие.

Для того, чтобы квадратная матрица была невырожденной, необходимо и достаточно, чтобы ее строки были линейно независимыми.

Доказательство:

Необходимость. Так как квадратная матрица является невырожденной, то ее ранг равен размеру матрицы
то есть определитель матрицы является базисным минором. Следовательно, по теореме 4.9.6 о базисном миноре строки матрицы являются линейно независимыми.

Достаточность. Так как все строки матрицы линейно независимы, то ее ранг не меньше размера матрицы, а значит,
следовательно, по предыдущей теореме 4.9.7 матрицаявляется невырожденной.

4.9.8. Метод окаймляющих миноров для нахождения ранга матрицы.

Заметим, что частично этот метод уже был неявно описан в доказательстве теоремы о базисном миноре.

4.9.8.1. Определение. Минор
называетсяокаймляющим по отношению к минору
, если он получен из минора
добавлением одной новой строки и одного нового столбца исходной матрицы.

4.9.8.2. Процедура нахождения ранга матрицы методом окаймляющих миноров.

Находим какой-либо текущий минор матрицы отличный от нуля.

Вычисляем все окаймляющие его миноры.

Если все они равны нулю, то текущий минор является базисным, и ранг матрицы равен порядку текущего минора.

Если среди окаймляющих миноров находится хотя бы один отличный от нуля, то он полагается текущим и процедура продолжается.

Найдем с помощью метода окаймляющих миноров ранг матрицы

.

Легко указать текущий минор второго порядка, отличный от нуля, например,

.

Вычисляем окаймляющие его миноры:

Следовательно, так как все окаймляющие миноры третьего порядка равны нулю, то минор
является базисным, то есть

Замечание. Из рассмотренного примера видно, что метод является достаточно трудоемким. Поэтому на практике гораздо чаще используется метод элементарных преобразований, речь о котором пойдет ниже.

4.9.9. Нахождение ранга матрицы методом элементарных преобразований.

На основании теоремы 4.9.5 можно утверждать, что ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях (то есть ранги эквивалентных матриц равны). Поэтому ранг матрицы равен рангу ступенчатой матрицы, полученной из исходной элементарными преобразованиями. Ранг же ступенчатой матрицы, очевидно, равен количеству ее ненулевых строк.

Определим ранг матрицы

методом элементарных преобразований.

Приведем матрицу к ступенчатому виду:

Количество ненулевых строк полученной ступенчатой матрицы равно трем, следовательно,

4.9.10. Ранг системы векторов линейного пространства.

Рассмотрим систему векторов
некоторого линейного пространства. Если она является линейно зависимой, то в ней можно выделить линейно независимую подсистему.

4.9.10.1. Определение. Рангом системы векторов
линейного пространстваназывается максимальное количество линейно независимых векторов этой системы. Ранг системы векторов
обозначается как
.

Замечание. Если система векторов линейно независима, то ее ранг равен количеству векторов системы.

Сформулируем теорему, показывающую связь понятий ранга системы векторов линейного пространства и ранга матрицы.

4.9.10.2. Теорема. (О ранге системы векторов линейного пространства)

Ранг системы векторов линейного пространства равен рангу матрицы, столбцами или строками которой являются координаты векторов в некотором базисе линейного пространства.

Без доказательства.

Следствие.

Для того, чтобы система векторов линейного пространства являлась линейно независимой, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы, столбцами или строками которой являются координаты векторов в некотором базисе, был равен количеству векторов системы.

Доказательство очевидно.

4.9.10.3. Теорема (О размерности линейной оболочки).

Размерность линейной оболочки векторов
линейного пространстваравна рангу этой системы векторов:

Без доказательства.

Понятия линейной зависимости и линейной независимости определяются для строк и столбцов одинаково. Поэтому свойства, связанные с этими понятиями, сформулированные для столбцов, разумеется, справедливы и для строк.

1. Если в систему столбцов входит нулевой столбец, то она линейно зависима.

2. Если в системе столбцов имеется два равных столбца, то она линейно зависима.

3. Если в системе столбцов имеется два пропорциональных столбца , то она линейно зависима.

4. Система из столбцов линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из столбцов есть линейная комбинация остальных.

5. Любые столбцы, входящие в линейно независимую систему, образуют линейно независимую подсистему.

6. Система столбцов, содержащая линейно зависимую подсистему, линейно зависима.

7. Если система столбцов - линейно независима, а после присоединения к ней столбца - оказывается линейно зависимой, то столбец можно разложить по столбцам , и притом единственным образом, т.е. коэффициенты разложения находятся однозначно.

Докажем, например, последнее свойство. Так как система столбцов линейно зависима, то существуют числа не все равные 0, что

В этом равенстве . В самом деле, если , то

Значит, нетривиальная линейная комбинация столбцов равна нулевому столбцу, что противоречит линейной независимости системы . Следовательно, и тогда , т.е. столбец есть линейная комбинация столбцов . Осталось показать единственность такого представления. Предположим противное. Пусть имеется два разложения и , причем не все коэффициенты разложений соответственно равны между собой (например, ). Тогда из равенства

Получаем (\alpha_1-\beta_1)A_1+\ldots+(\alpha_k-\beta_k)A_k=o

последовательно, линейная комбинация столбцов равна нулевому столбцу. Так как не все ее коэффициенты равны нулю (по крайней мере ), то эта комбинация нетривиальная, что противоречит условию линейной независимости столбцов . Полученное противоречие подтверждает единственность разложения.

Пример 3.2. Доказать, что два ненулевых столбца и линейно зависимы тогда и только тогда, когда они пропорциональны, т.е. .

Решение. В самом деле, если столбцы и линейно зависимы, то существуют такие числа , не равные нулю одновременно, что . Причем в этом равенстве . Действительно, предположив, что , получим противоречие , поскольку и столбец - ненулевой. Значит, . Поэтому найдется число такое, что . Необходимость доказана.

Наоборот, если , то . Получили нетривиальную линейную комбинацию столбцов, равную нулевому столбцу. Значит, столбцы линейно зависимы.

Пример 3.3. Рассмотреть всевозможные системы, образованные из столбцов

Исследовать каждую систему на линейную зависимость.
Решение. Рассмотрим пять систем, содержащих по одному столбцу. Согласно п.1 замечаний 3.1: системы , линейно независимы, а система, состоящая из одного нулевого столбца , линейно зависима.

Рассмотрим системы, содержащие по два столбца:

– каждая из четырех систем и линейно зависима, так как содержит нулевой столбец (свойство 1);

– система линейно зависима, так как столбцы пропорциональны (свойство 3): ;

– каждая из пяти систем и линейно независима, так как столбцы непропорциональные (см. утверждение примера 3.2).

Рассмотрим системы, содержащие три столбца:

– каждая из шести систем и линейно зависима, так как содержит нулевой столбец (свойство 1);

– системы линейно зависимы, так как содержат линейно зависимую подсистему (свойство 6);

– системы и линейно зависимы, так как последний столбец линейно выражается через остальные (свойство 4): и соответственно.

Наконец, системы из четырех или из пяти столбцов линейно зависимы (по свойству 6).

Ранг матрицы

В этом разделе рассмотрим еще одну важную числовую характиристику матрицы, связанную с тем, насколько ее строки (столбцы) зависят друг от друга.

Определение 14.10 Пусть дана матрица размеров и число , не превосходящее наименьшего из чисел и : . Выберем произвольно строк матрицы и столбцов (номера строк могут отличаться от номеров столбцов). Определитель матрицы, составленной из элементов, стоящих на пересечении выбранных строк и столбцов, называется минором порядка матрицы .

Пример 14.9 Пусть .

Минором первого порядка является любой элемент матрицы. Так 2, , -- миноры первого порядка.

Миноры второго порядка:

1. возьмем строки 1, 2, столбцы 1, 2, получим минор ;

2. возьмем строки 1, 3, столбцы 2, 4, получим минор ;

3. возьмем строки 2, 3, столбцы 1, 4, получим минор

Миноры третьего порядка:

строки здесь можно выбрать только одним способом,

1. возьмем столбцы 1, 3, 4, получим минор ;

2. возьмем столбцы 1, 2, 3, получим минор .

Предложение 14.23 Если все миноры матрицы порядка равны нулю, то все миноры порядка , если такие существуют, тоже равны нулю.

Доказательство . Возьмем произвольный минор порядка . Это определитель матрицы порядка . Разложим его по первой строке. Тогда в каждом слагаемом разложения один из множителей будет являться минором порядка исходной матрицы. По условию миноры порядка равны нулю. Поэтому и минор порядка будет равен нулю.

Определение 14.11 Рангом матрицы называется наибольший из порядков миноров матрицы , отличных от нуля. Ранг нулевой матрицы считается равным нулю.

Единое, стандартное, обозначение ранга матрицы отсутствует. Следуя учебнику , мы будем обозначать его .

Пример 14.10 Матрица примера 14.9 имеет ранг 3, так как есть минор третьего порядка, отличный от нуля, а миноров четвертого порядка нет.

Ранг матрицы равен 1, так как есть ненулевой минор первого порядка (элемент матрицы ), а все миноры второго порядка равны нулю.

Ранг невырожденной квадратной матрицы порядка равен , так как ее определитель является минором порядка и у невырожденной матрицы отличен от нуля.

Предложение 14.24 При транспонировании матрицы ее ранг не меняется, то есть .

Доказательство . Транспонированный минор исходной матрицы будет являться минором транспонированной матрицы , и наоборот, любой минор является транспонированным минором исходной матрицы . При транспонировании определитель (минор) не меняется (предложение 14.6). Поэтому если все миноры порядка в исходной матрице равны нулю, то все миноры того же порядка в тоже равны нулю. Если же минор порядка в исходной матрице отличен от нуля, то в есть минор того же порядка, отличный от нуля. Следовательно, .

Определение 14.12 Пусть ранг матрицы равен . Тогда любой минор порядка , отличный от нуля, называется базисным минором.

Пример 14.11 Пусть . Определитель матрицы равен нулю, так как третья строка равна сумме первых двух. Минор второго порядка, расположенный в первых двух строках и первых двух столбцах, равен . Следовательно, ранг матрицы равен двум, и рассмотренный минор является базисным.

Базисным минором является также минор, расположенный, скажем, в первой и третьей строках, первом и третьем столбцах: . Базисным будет минор во второй и третьей строках, первом и третьем столбцах: .

Минор в первой и второй строках, втором и третьем столбцах равен нулю и поэтому не будет базисным. Читатель может самостоятельно проверить, какие еще миноры второго порядка будут базисными, а какие нет.

Так как столбцы (строки) матрицы можно складывать, умножать на числа, образовывать линейные комбинации, то можно ввести определения линейной зависимости и линейной независимости системы столбцов (строк) матрицы. Эти определения аналогичны таким же определениям 10.14, 10.15 для векторов.

Определение 14.13 Система столбцов (строк) называется линейно зависимой, если существует такой набор коэффициентов, из которых хотя бы один отличен от нуля, что линейная комбинация столбцов (строк) с этими коэффициентами будет равна нулю.

Определение 14.14 Система столбцов (строк) является линейно независимой, если из равенства нулю линейной комбинации этих столбцов (строк) следует, что все коэффициенты этой линейной комбинации равны нулю.

Верно также следующеее предложение, аналогичное предложению 10.6.

Предложение 14.25 Система столбцов (строк) является линейно зависимой тогда и только тогда, когда один из столбцов (одна из строк) является линейной комбинацией других столбцов (строк) этой системы.

Сформулируем теорему, которая называется теорема о базисном миноре .

Теорема 14.2 Любой столбец матрицы является линейной комбинацией столбцов, проходящих через базисный минор.

Доказательство можно найти в учебниках по линейной алгебре, например, в , .

Предложение 14.26 Ранг матрицы равен максимальному числу ее столбцов, образующих линейно независимую систему.

Доказательство . Пусть ранг матрицы равен . Возьмем столбцы, проходящие через базисный минор. Предположим, что эти столбцы образуют линейно зависимую систему. Тогда один из столбцов является линейной комбинацией других. Поэтому в базисном миноре один столбец будет линейной комбинацией других столбцов. По предложениям 14.15 и 14.18 этот базисный минор должен быть равен нулю, что противоречит определению базисного минора. Следовательно, предположение о том, что столбцы, проходящие через базисный минор, линейно зависимы, не верно. Итак, максимальное число столбцов, образующих линейно независимую систему, больше либо равно .

Предположим, что столбцов образуют линейно независимую систему. Составим из них матрицу . Все миноры матрицы являются минорами матрицы . Поэтому базисный минор матрицы имеет порядок не больше . По теореме о базисном миноре, столбец, не проходящий через базисный минор матрицы , является линейной комбинацией столбцов, проходящих через базисный минор, то есть столбцы матрицы образуют линейно зависимую систему. Это противоречит выбору столбцов, образующих матрицу . Следовательно, максимальное число столбцов, образующих линейно независимую систему, не может быть больше . Значит, оно равно , что и утверждалось.

Предложение 14.27 Ранг матрицы равен максимальному числу ее строк, образующих линейно независимую систему.

Доказательство . По предложению 14.24 ранг матрицы при транспонировании не меняется. Строки матрицы становятся ее столбцами. Максимальное число новых столбцов транспонированной матрицы, (бывших строк исходной) образующих линейно независимую систему, равно рангу матрицы.

Предложение 14.28 Если определитель матрицы равен нулю, то один из его столбцов (одна из строк) является линейной комбинацией остальных столбцов (строк).

Доказательство . Пусть порядок матрицы равен . Определитель является единственным минором квадратной матрицы, имеющим порядок . Так как он равен нулю, то . Следовательно, система из столбцов (строк) является линейно зависимой, то есть один из столбцов (одна из строк) является линейной комбинацией остальных.

Результаты предложений 14.15, 14.18 и 14.28 дают следующую теорему.

Теорема 14.3 Определитель матрицы равен нулю тогда и только тогда, когда один из ее столбцов (одна из строк) является линейной комбинацией остальных столбцов (строк).

Нахождение ранга матрицы с помощью вычисления всех ее миноров требует слишком большой вычислительной работы. (Читатель может проверить, что в квадратной матрице четвертого порядка 36 миноров второго порядка.) Поэтому для нахождения ранга применяется другой алгоритм. Для его описания потребуется ряд дополнительных сведений.

Определение 14.15 Назовем элементарными преобразованиями матрицследующие действия над ними:

1) перестановка строк или столбцов;
2) умножение строки или столбца на число отличное от нуля;
3) добавление к одной из строк другой строки, умноженной на число или добавление к одному из столбцов другого столбца, умноженного на число.

Предложение 14.29 При элементарных преобразованиях ранг матрицы не меняется.

Доказательство . Пусть ранг матрицы равен , -- матрица, получившаяся в результате выполнения элементарного преобразования.

Рассмотрим перестановку строк. Пусть -- минор матрицы , тогда в матрице есть минор , который или совпадает с , или отличается от него перестановкой строк. И наоборот, любому минору матрицы можно сопоставить минор матрицы или совпадающий с , или отличающийся от него порядком строк. Поэтому из того, что в матрице все миноры порядка равны нулю, следует, что в матрице тоже все миноры этого порядка равны нулю. И так как в матрице есть минор порядка , отличный от нуля, то и в матрице тоже есть минор порядка , отличный от нуля, то есть .

Рассмотрим умножение строки на число , отличное от нуля. Минору из матрицы соответствует минор из матрицы или совпадающий с , или отличающийся от него только одной строкой, которая получается из строки минора умножением на число, отличное от нуля. В последнем случае . Во всех случаях или и одновременно равны нулю, или одновременно отличны от нуля. Следовательно, .

где – какие-то числа (некоторые из этих чисел или даже все могут быть равны нулю). Это означает наличие следующих равенств между элементами столбцов:

или , .

Из (3.3.1) вытекает, что

(3.3.2)

где – нулевая строка.

Определение. Строки матрицы А линейно зависимы, если существуют такие числа , не все равные нулю одновременно, что

(3.3.3)

Если равенство (3.3.3) справедливо тогда и только тогда, когда , то строки называются линейно независимыми. Соотношение (3.3.2) показывает, что если одна из строк линейно выражается через остальные, то строки линейно зависимы.

Легко видеть и обратное: если строки линейно зависимы, то найдется строка, которая будет линейной комбинацией остальных строк.

Пусть, например, в (3.3.3) , тогда .

Определение. Пусть в матрице А выделен некоторый минор r -го порядка и пусть минор (r +1)-го порядка этой же матрицы целиком содержит внутри себя минор . Будем говорить, что в этом случае минор окаймляет минор (или является окаймляющим для ).

Теперь докажем важную лемму.

Лемма об окаймляющих минорах. Если минор порядка r матрицы А= отличен от нуля, а все окаймляющие его миноры равны нулю, то любая строка (столбец) матрицы А является линейной комбинацией ее строк (столбцов), составляющих .

Доказательство. Не нарушая общности рассуждений, будем считать, что отличный от нуля минор r -го порядка стоит в левом верхнем углу матрицы А=:

.

Для первых k строк матрицы А утверждение леммы очевидно: достаточно в линейную комбинацию включить эту же строку с коэффициентом, равным единице, а остальные – с коэффициентами, равными нулю.

Докажем теперь, что и остальные строки матрицы А линейно выражаются через первые k строк. Для этого построим минор (r +1)-го порядка путем добавления к минору k -ой строки () и l -го столбца ():

.

Полученный минор равен нулю при всех k и l . Если , то он равен нулю как содержащий два одинаковых столбца. Если , то полученный минор является окаймляющим минором для и, следовательно, равен нулю по условию леммы.

Разложим минор по элементам последнего l -го столбца:

(3.3.4)

где - алгебраические дополнения к элементам . Алгебраические дополнение есть минор матрицы А, поэтому . Разделим (3.3.4) на и выразим через :

(3.3.5)

где , .

Полагая , получим:

(3.3.6)

Выражение (3.3.6) означает, что k -я строка матрицы А линейно выражается через первые r строк.

Так как при транспонировании матрицы значения ее миноров не изменяются (ввиду свойства определителей), то все доказанное справедливо и для столбцов. Теорема доказана.

Следствие I . Любая строка (столбец) матрицы является линейной комбинацией ее базисных строк (столбцов). Действительно, базисный минор матрицы отличен от нуля, а все окаймляющие его миноры равны нулю.

Следствие II . Определитель n -го порядка тогда и только тогда равен нулю, когда он содержит линейно зависимые строки (столбцы). Достаточность линейной зависимости строк (столбцов) для равенства определителя нулю доказана ранее как свойство определителей.

Докажем необходимость. Пусть задана квадратная матрица n -го порядка, единственный минор которой равен нулю. Отсюда следует, что ранг этой матрицы меньше n , т.е. найдется хотя бы одна строка, которая является линейной комбинацией базисных строк этой матрицы.

Докажем еще одну теорему о ранге матрицы.

Теорема. Максимальное число линейно независимых строк матрицы равно максимальному числу ее линейно независимых столбцов и равно рангу этой матрицы.

Доказательство. Пусть ранг матрицы А= равен r . Тогда любые ее k базисных строк являются линейно независимыми, иначе базисный минор был бы равен нулю. С другой стороны, любые r +1 и более строк линейно зависимы. Предположив противное, мы могли бы найти минор порядка более чем r , отличный от нуля по следствию 2 предыдущей леммы. Последнее противоречит тому, что максимальный порядок миноров, отличных от нуля, равен r . Все доказанное для строк справедливо и для столбцов.

В заключение изложим еще один метод нахождения ранга матрицы. Ранг матрицы можно определить, если найти минор максимального порядка, отличный от нуля.

На первый взгляд, это требует вычисления хотя и конечного, но быть может, очень большого числа миноров этой матрицы.

Следующая теорема позволяет, однако, внести в этот значительные упрощения.

Теорема. Если минор матрицы А отличен от нуля, а все окаймляющие его миноры равны нулю, то ранг матрицы равен r .

Доказательство. Достаточно показать, что любая подсистема строк матрицы при S > r будет в условиях теоремы линейно зависимой (отсюда будет следовать, что r – максимальное число линейно независимых строк матрицы или любые ее миноры порядка больше чем k равны нулю).

Предположим противное. Пусть строки линейно независимы. По лемме об окаймляющих минорах каждая из них будет линейно выражаться через строки , в которых стоит минор и которые, ввиду того, что отличен от нуля, линейно независимы:

(3.3.7)

Рассмотрим матрицу К из коэффициентов линейных выражений (3.3.7):

.

Строки этой матрицы обозначим через . Они будут линейно зависимы, так как ранг матрицы К, т.е. максимальное число ее линейно независимых строк, не превышает r < S . Поэтому существуют такие числа , не все равны нулю, что

Перейдем к равенству компонент

(3.3.8)

Теперь рассмотрим следующую линейную комбинацию:

или

Каждую строку матрицы А обозначим е i = (a i 1 a i 2 …, a in) (например,
е 1 = (a 11 a 12 …, a 1 n), е 2 = (a 21 a 22 …, a 2 n) и т.д.). Каждая из них представляет собой матрицу-строку, которую можно умножить на число или сложить с другой строкой по общим правилам действий с матрицами.

Линейной комбинацией строк e l , e 2 ,...e k называют сумму произведений этих строк на произвольные действительные числа:
e = l l e l + l 2 e 2 +...+ l k e k , где l l , l 2 ,..., l k - произвольные числа (коэффициенты линейной комбинации).

Строки матрицы e l , e 2 ,...e m называются линейно зависимыми , если существуют такие числа l l , l 2 ,..., l m , не равные одновременно нулю, что линейная комбинация строк матрицы равна нулевой строке:
l l e l + l 2 e 2 +...+ l m e m = 0, где 0 = (0 0...0).

Линейная зависимость строк матрицы означает, что хотя бы одна строка матрицы является линейной комбинацией остальных. Действительно, пусть для определенности последний коэффициент l m ¹ 0. Тогда, разделив обе части равенства на l m , получим выражение для последней строки, как линейной комбинации остальных строк:
e m = (l l /l m)e l + (l 2 /l m)e 2 +...+ (l m-1 /l m)e m-1 .

Если линейная комбинация строк равна нулю тогда и только тогда, когда все коэффициенты равны нулю, т.е. l l e l + l 2 e 2 +...+ l m e m = 0 Û l k = 0 "k, то строки называют линейно независимыми .

Теорема о ранге матрицы . Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк или столбцов, через которые можно линейно выразить все остальные ее строки или столбцы.

Докажем эту теорему. Пусть матрица А размера m х n имеет ранг r (r(А) £ min {m; n}). Следовательно, существует отличный от нуля минор r-го порядка. Всякий такой минор будем называть базисным . Пусть для определенности это минор

Строки этого минора также будем называть базисными .

Докажем, что тогда строки матрицы e l , e 2 ,...e r линейно независимы. Предположим противное, т.е. одна из этих строк, например r-я, является линейной комбинацией остальных: e r = l l e l + l 2 e 2 +...+ l r-1 e r-1 = 0. Тогда, если вычесть из элементов r-й строки элементы 1-й строки, умноженные на l l , элементы 2-й строки, умноженные на l 2 , и т.д., наконец, элементы (r-1)-й строки, умноженные на l r-1 , то r-я строка станет нулевой. При этом по свойствам определителя вышеприведенный определитель не должен измениться, и при этом должен быть равен нулю. Получено противоречие, линейная независимость строк доказана.

Теперь докажем, что любые (r+1) строк матрицы линейно зависимы, т.е. любую строку можно выразить через базисные.

Дополним рассмотренный ранее минор еще одной строкой (i-й) и еще одним столбцом (j-м). В результате получим минор (r+1)-го порядка, который по определению ранга равен нулю.

Пусть в матрице А размеров (m; n) выбраны произвольно k строк и k столбцов (k ≤ min(m; n)). Элементы матрицы, стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу порядка k, определитель которой называется минором M kk порядка k y или минором k-го порядка матрицы A.

Рангом матрицы называется максимальный порядок r отличных от нуля миноров матрицы A, а любой минор порядка r, отличный от нуля, — базисным минором. Обозначение: rang A = r. Если rang A = rang B и размеры матриц A и Bсовпадают, то матрицы A и B называются эквивалентными. Обозначение: A ~ B.

Основными методами вычисления ранга матрицы являются метод окаймляющих миноров и метод .

Метод окаймляющих миноров

Суть метода окаймляющих миноров состоит в следующем. Пусть в матрице уже найден минор порядка k, отличный от нуля. Тогда далее рассматриваются лишь те миноры порядка k+1, которые содержат в себе (т. е. окаймляют) минорk-го порядка, отличный от нуля. Если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k, в противном случае среди окаймляющих миноров (k+1)-го порядка найдется отличный от нуля и вся процедура повторяется.

Линейная независимость строк (столбцов) матрицы

Понятие ранга матрицы тесно связано с понятием линейной независимости ее строк (столбцов).

Строки матрицы :

называют линейно зависимыми, если найдутся такие числа λ 1 , λ 2 , λ k , что справедливо равенство:

Строки матрицы A называются линейно независимыми, если вышеприведённое равенство возможно лишь в случае, когда все числа λ 1 = λ 2 = … = λ k = 0

Аналогичным образом определяется линейная зависимость и независимость столбцов матрицы A.

Если какая-либо строка (a l) матрицы A (где (a l)=(a l1 , a l2 ,…, a ln)) может быть представлена в виде

Аналогичным образом определяется понятие линейной комбинации столбцов. Справедлива следующая теорема о базисном миноре.

Базисные строчки и базисные столбцы линейно независимы. Любая строка (либо столбец) матрицы A является линейной комбинацией базисных строк (столбцов), т. е. строк (столбцов), пересекающих базисный минор. Таким образом, ранг матрицы A: rang A = k равен максимальному числу линейно независимых строк (столбцов) матрицы A.

Т.е. ранг матрицы — это размерность самой большой квадратной матрицы внутри той матрицы, для которой нужно определить ранг, для которой определитель не равен нулю. Если исходная матрица не является квадратной, либо если она квадратная, но её определитель равен нулю, то для квадратных матриц меньшего порядка строки и столбцы выбираются произвольно.

Кроме как через определители, ранг матрицы можно посчитать по числу линейно независимых строк или столбцов матрицы. Он равен количеству линейно независимых строк или столбцов в зависимости от того, чего меньше. Например, если матрица имеет 3 линейно независимых строки и 5 линейно независимых столбцов, то её ранг равняется трём.

Примеры нахождения ранга матрицы

Методом окаймляющих миноров найти ранг матрицы

Р е ш е н и е. Минор второго порядка

окаймляющий минор M 2 , также отличен от нуля. Однако оба минора четвёртого порядка, окаймляющие M 3 .

равны нулю. Поэтому ранг матрицы A равен 3, а базисным минором является, например, представленный выше минор M 3 .

Метод элементарных преобразований основан на том, что элементарные преобразования матрицы не меняют её ранга. Используя эти преобразования, можно привести матрицу к виду, когда все её элементы, кроме a 11 , a 22 , …, a rr (r ≤min (m, n)), равны нулю. Это, очевидно, означает, что rang A = r. Заметим, что если матрица n-го порядка имеет вид верхней треугольной матрицы, т. е. матрицы, у которой все элементы под главной диагональю равны нулю, то её определитесь равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали. Это свойство можно использовать при вычислении ранга матрицы методом элементарных преобразований: необходимо с их помощью привести матрицу к треугольной и тогда, выделив соответствующий определитель, найдём, что ранг матрицы равен числу элементов главной диагонали, отличных от нуля.

Методом элементарных преобразований найти ранг матрицы

Р е ш е н и е. Обозначим i-ю строку матрицы A символом α i . На первом этапе выполним элементарные преобразования

На втором этапе выполним преобразования

В результате получим